Construction d'une ellipse

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Dans le repère orthonormé du plan ci-dessous, d’origine `\text{O}`, on considère les points \(\text{A}(4 ~;0)\), \(\text{A}^\prime(−4~;0)\), \(\text{F}(3~;0)\) et \(\text{F}^\prime(−3~; 0)\).
On note `\text{B}` le point appartenant à l'axe des ordonnées dont l’ordonnée est positive et tel que \(\text{FB}=4\).

1. Calculer l'ordonnée du point `\text{B}`. On pourra travailler dans le triangle `\text{OFB}`.
2. Calculer les sommes \(\text{F}^\prime\text{A}+\text{FA}\) ; \(\text{F}^\prime\text{A}^\prime+\text{FA}^\prime\) et \(\text{F}^\prime\text{B}+\text{FB}\).

Propriété 
Un point `\text{M}` appartient à l'ellipse \(\mathcal{E}\) passant par \(\text{A}\) et de foyers \(\text{F}\) et \(\text{F}^\prime\) si, et seulement si, \(\text{F}^\prime\text{M}+\text{FM}=8\).

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre les points \(\text{A}\), \(\text{A}^\prime\), \(\text{F}\), \(\text{F}^\prime\), \(\text{B}\) ainsi que le cercle \(\mathcal C\) de centre \(\text{F}^\prime\) et de rayon \(8\). Le point \(\text{P}\) est un point appartenant à ce cercle.

3. Tracer, à l'aide des outils disponibles, la médiatrice \((d)\) du segment \(\text{[PF]}\). Placer le point \(\text{M}\), intersection du rayon \([\text{F}^\prime\text{P]}\) avec la droite \(\text(d)\).
4. Justifier que \(\text{M }\)est un point de l'ellipse \(\mathcal{E}\).
5. Activer la trace du point \(\text{M }\)(touche droite sur le point puis « afficher la trace ») et déplacer le point \(\text{P}\). Observer l'ellipse \(\mathcal{E}\).